jueves, 28 de mayo de 2015

Exámenes álgebra computacional

En el contexto industrial, de superficies paramétricas (es decir, de la forma
x = x(u; v); y = y(u; v); z = z(u; v), donde las expresiones x(u; v),
y(u; v), z(u; v) son funciones racionales -cocientes de dos polinomios
con concientes racionales- de u; v) conlleva, con frecuencia, el calculo de la intersección de dos tales superficies. Supongamos que ambas vienen dadas por las ecuaciones paramétricas

xi = xi(u; v); yi = yi(u; v); zi = zi(u; v); i = 1; 2

Naturalmente, los puntos de la intersección verifican el sistema de tres ecuaciones racionales con dos incógnitas

x1(u; v) = x2(u; v); y1(u; v) = y2(u; v); z1(u; v) = z2(u; v)

que hay que resolver para hallar los valores de los parámetros que corresponden con los puntos de la intersección.

Una forma a veces más cómoda de realizar este cálculo consiste en:

a) hallar la ecuación implícita de una de ellas, digamos f(x; y; z) = 0, donde f(x; y; z) es un polinomio tal que f(x1(u; v); y1(u; v); z1(u; v)) es idénticamente cero.
b) sustituir las variables de f(x; y; z) por x2(u; v); y2(u; v); z2(u; v)
c) hallar valores (u; v) que verifiquen la ecuación implícita de la curva resultante g(u; v) = f(x2(u; v); y2(u; v); z2(u; v)) = 0. Sustituir tales valores en cualquiera de las ecuaciones paramétricas xi = xi(u; v); yi = yi(u; v); zi = zi(u; v), para obtener puntos en la intersección de las dos superficies.

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